ECUACION

 En un plano, podemos representar una recta mediante una ecuación, y determinar los valores que cumplan determinadas condiciones, por ejemplo, las de un problema de geometría.

Pendiente y ordenada al origen

En una recta, la pendiente es siempre constante. Se calcula mediante la

 ecuación: 

                     

Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente):

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas X.

La ecuación de la recta que pasa por el punto P1=(X1,Y1)   y tiene la pendiente dada es:

Ejemplo

La ecuación de la recta que pasa por el punto A (2,-4) que tiene una pendiente de  -1/3.

Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:

Forma simplificada de la ecuación de la recta

Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta, :

Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos . También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.

Forma segmentaria de la ecuación de la recta (Ecuación simétrica)

sí como a la ordenada al origen se le puede llamar , a la abscisa al origen se le puede llamar . Si se plantea como problema encontrar la ecuación de una recta, conocidos y (la abscisa y ordenada al origen), se conocen dos puntos de la recta los cuales son los siguientes:
 

Y

Con estos puntos se puede encontrar dicha ecuación, pero primero se debe calcular la pendiente:

Después se sustituye en la ecuación , usando cualquiera de los dos puntos, en este caso (a, 0):

Por último se tiene que dividir toda la ecuación entre el término independiente :

Se obtiene la ecuación de la recta en su forma simétrica. Esta ecuación se suele utilizar para obtener la ecuación de una recta de la que se conocen sus intersecciones con los ejes y cuando, a partir de la ecuación de una recta, se desean conocer los puntos donde dicha recta interseca a los ejes.

Ecuación normal de la recta (Primera forma; Ecuación de Hesse)

Ludwig Otto Hesse (1811-1874, matemático alemán, profesor en la Universidad de Heidelberg y en la Universidad Técnica de Múnich.)

Esta es la forma normal de la recta:

Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El ángulo omega ω es el ángulo formado entre la recta y el eje de las ordenadas.

Donde x que es una constante que nos ayudará a obtener la forma normal, la cual se puede obtener de la forma general de la recta.

Extrayendo la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de A y B. Como sigue:

Con el número x podemos obtener a y a de la misma ecuación general de la recta, dividiendo a A y B entre k y para calcular d dividimos a C entre k.

Debemos tener cuidado al calcular C, por que C=-kd, entonces si C>0 (es positiva) tomaremos el valor negativo de k (y será el mismo todas las veces que usemos a k en la misma ecuación), cuando C<0 (es negativa) usaremos el valor positivo de k.³

Ecuación normal de la recta (Segunda forma)